Em 1891, Georg Cantor, um grande matemático europeu, publicou uma demonstração assombrosa, além de belíssima e absurdamente simples. O assombro era causado pela revelação de infinitudes superiores às imaginadas até então. O que Cantor demonstrou foi que a própria infinitude era muito maior que tudo o que havia sido concebido anteriormente.
Tentarei transcrever a demonstração de Cantor de uma maneira acessível a todos, o que me obriga a contornar o pavor compartilhado por tantos, sobre tudo o que se refere à matemática. Na leitura a seguir, desconsidere tratar-se de demonstração matemática e se atenha à descrição da magia contida nela, como se se tratasse de ensinamento da escola de Hogwarts. Nesta lição, ensinarei a contemplar o infinito e discernir entre duas dimensões de infinitudes.
Antes, no entanto, mostremos como se constrói uma tabela infinita contendo todas as frações.
Na tabela acima, a primeira linha contém todas as frações com numerador 1, a segunda contém todas as com numerador 2, e, assim, sucessivamente. Desse modo, se a tabela for prolongada indefinidamente, todas as frações acabarão nela representadas.
Então, seguindo as setas, podemos indicar a construção de uma sequência infinita contendo todas as frações:
Prosseguindo indefinidamente, construiríamos uma lista enumerando todos os números fracionários. O propósito disso, bastante banal, é apenas mostrar ser possível associar, um a um, cada número fracionário (racional) a um número natural, ou seja, enumerar todas as frações.
Trata-se apenas de uma trivialidade, mas necessária para compreender a magia descrita abaixo.
Os portais do infinito
A abertura dos portais do infinito exige o conhecimento de uma simbologia mágica levada da Índia para a Europa, séculos atrás, por nigromantes mouros, os algarismos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. Tais símbolos, conhecidos hoje por todos, são comumente utilizados na representação dos números; o número 256, por exemplo, é representado pelos algarismos “2”, “5” e “6”, dispostos nessa ordem.
Eventualmente, complementa-se a representação de um número com o auxílio de uma vírgula, como em: 3,14 , ou em 0,0035. (Em outros países o ponto costuma ser usado em lugar da vírgula, em tais representações).
No que segue, tenha em mente que “algarismo” significa um desses símbolos conhecidos por todos.
A magia
Usualmente, não grafamos os zeros à direita dos números. Na listagem abaixo isso deverá ser feito, de modo que 0,37, por exemplo deve ser representado como 0,3700000…, onde se acentua a presença dos zeros à direita.
Agora, tentemos fazer o que fizemos anteriormente com os números fracionários e imaginar uma lista contendo todos os números entre 0 e 1 (lembrando que existem números irracionais, ou seja, que não podem ser representados por uma fração).
Como todos os números entre 0 e 1 começam com “0,”, a lista terá a forma:
E prosseguirá indefinidamente.
O quadro acima simboliza qualquer lista de números entre 0 e 1; por exemplo:
1: 0,73785958764664668 …
2: 0,4242538598642389847 …
3: 0,0000737733636666999 …
4: 0,5000000000000000000 …
5: 0,424239999252444202 …
6: 0,000000000000000004000 …
Inventei essa lista apenas a título de exemplo. O leitor pode inventar qualquer uma outra, desde que todos os números comecem com “0,”, e os espaços à direita de qualquer número passível de representação finita, como “0,1”, sejam preenchidos por zeros, da forma: “0,1000000000…” onde as reticências indicam o prosseguimento indefinido.
Suponhamos que todos os números entre 0 e 1 tenham sido colocados nas listas infinitas representadas acima, e componhamos um número com os algarismos grafados em vermelho que percorrem a diagonal por toda a tabela (a diagonal de Cantor).
Na lista geral esse número será representado por:
Na outra lista, construída como exemplo, o número que compõe a diagonal é: 0,720030… .
Se você acompanhou tudo, até aqui, não necessitará mais do exemplo numérico específico, utilizado apenas com propósitos didáticos, e eu o abandonarei.
Agora, retiremos o coelho da cartola!
Isso significa que o número assim construído (trocando-se o dígito presente na diagonal) não está na lista, Tchanraaaannn!
Mas a lista infinita, pretensamente, continha todos os números entre 0 e 1, de modo que esse número tinha que estar lá!
(Recapitule tudo, para se certificar precisamente de tudo o que está sendo afirmado. Em resumo, efetuou-se, simplesmente, a troca de todos os dígitos da diagonal, obtendo-se, desse modo, um número que difere de todos os outros que aparecem na lista).
Eu a vejo, mas não creio…
Temos, então, uma lista contendo todos os números de um dado intervalo, mas um número que está contido no intervalo não está na lista!
Como interpretar tal paradoxo?
A conclusão de Cantor, hoje aceita por todos – existirá, ainda, algum desviante que a rejeite? –, assevera a impossibilidade de construção de tal lista. Qualquer lista enumerável, mesmo infinita, será pequena demais, insuficiente para conter o conjunto de todos os números englobados em um intervalo qualquer. Isso equivale à impossibilidade de corresponder, um a um, os números naturais, (1, 2, 3…) aos reais (esses tratados acima). A estranheza dessa conclusão acentua-se ainda mais ao se constatar que a conclusão vale para qualquer intervalo, por exemplo,
entre 0 e 0,0000000000000000000000001. Ou seja, há mais números nesse minúsculo intervalo que toda a infinidade dos naturais, de modo que a totalidade dos números contidos nele não pode ser representada em uma lista, mesmo em uma lista infinita.
Desse modo, Cantor demonstrou a existência de quantidades que não podem ser enumeradas, que transbordam de qualquer lista; que não cabem em nenhuma delas, mesmo em listas infinitas.
A revelação apresentava, também, simultaneamente, uma concepção de infinitude superior às imaginadas anteriormente, uma infinitude que não caberia dentro de nenhuma concepção prévia, por superá-las imensamente, todas.
Como se soprasse bolhas dentro de bolhas, Cantor mostrou o que há além do infinito.
Como retornar para casa em um mundo aberto?
A diagonal de Cantor ilustra contundentemente o fato de vivermos em um mundo aberto, um mundo no qual, em cada momento, nos deparamos com inúmeras possibilidades. A imensidão descortinada pela diagonal, no entanto, nos sugere o seguinte enigma: havendo sempre infinitos caminhos, como conseguimos voltar para nossas casas, e não nos perder na imensidão infinita? Como conseguimos, entre tantas possibilidades, encontrar exatamente a que nos leva de volta para casa?
A solução do enigma oferece uma resposta ao mesmo tempo simples e trágica. De modo a retornarmos para casa, a estratégia mais simples consiste em fechar o mundo, em reduzi-lo a apenas uns poucos caminhos. Em um mundo assim depauperado, reduzido a poucos trajetos, torna-se fácil encontrar nosso caminho de volta e não nos perdermos na loucura geral, no absurdo infinito que nos rodeia. Mas, assim, ao garantir nosso retorno, construímos nossa própria prisão, fechando o mundo, e abdicando de usufruir a imensidão ao redor, restringindo-nos, apenas, aos caminhos já trilhados pelo rebanho.
E é por nunca nos permitirmos sair das trilhas que o mundo nos parece fechado.
Matemágica
Daniel Dennet apresenta-nos um estranho paradoxo, ao ressaltar que “magia verdadeira” é aquela que não existe, enquanto a magia que existe, a real, é a que não é de verdade.
Mais cauteloso que o filósofo estadunidense, Shakespeare incitou Hamlet a afirmar haver mais coisas entre o céu e a terra do que sonha a vã filosofia.
É provável que, seguindo os passos da Alice, de Lewis Carrol, Cantor tenha penetrado na toca do coelho e encontrado um outro mundo.
Deve-se ressaltar que Leopold Kronecker, um seu antigo professor, negou peremptoriamente qualquer direito de existência à realidade mágica e confusa descortinada pela diagonal de Cantor, no que foi seguido por Ludwig Wittgenstein, o filósofo, que a considerou verdadeiro chiste. Há quem pense, assim, que o mundo transfinito transcorra apenas em uma terra de maravilhas. Seja ou não, foi nesse mundo onírico que Kurt Gödel apoiou (ou deixou de apoiar) a matemática do século XX.
De qualquer modo, ao abrir os portais do infinito, a matemágica de Georg Cantor ampliou mundos e sonhos, tendo nos jogado na mais quimérica imensidão; como qualquer boa magia, a de Cantor transcorre no absurdo.
NOTA * Necessário mencionar um detalhe: convém evitar a troca entre zeros e noves, dada a constatação de que 0,9999999999… = 1,0000000000… , conforme visto aqui.
Veja também:
Gustavo Gollo é multicientista, multiartista, filósofo e profeta.
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